近世代数
近世代数（抽象代数）研究群、环、域三种基本代数结构。群具有一种运算，以对称性为研究核心；环具有两种运算，以理想和商结构为研究核心；域是环的最完美特例——非零元均可逆，是 Galois 理论的基础。
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一、群论
群具有一种二元运算。以子群、正规子群和商群为基本结构，Sylow 定理揭示有限群的 -子群规律，群作用连接抽象群与具体对称。
二、环论
环具有加法和乘法两种运算。理想是环论的核心——它类比正规子群，使商环的构造成为可能。素理想和极大理想决定了商环的性质。
三、域论
域是每个非零元都可逆的交换环。域的扩张理论是 Galois 理论的基石——有限域和由不可约多项式构造的扩域是核心对象。