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域论

域（Field）是环论中最"完美"的结构——每个非零元都有乘法逆元。域论以域的基本性质和扩张理论为核心，连接代数方程、Galois 理论和有限域。

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一、域的基本概念与例子​

域的定义、子域与扩域、素域、特征。常见域的例子：Q,R,C,Fp\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_p。

二、域的扩张​

域的代数扩张与超越扩张。有限扩张的次数公式、单扩张的构造以及由不可约多项式 f(x)f(x) 构造扩域 F[x]/(f(x))F[x]/(f(x))（核心考点）。

三、有限域​

有限域 Fq\mathbb{F}_q（q=pnq = p^n）的结构。存在性与唯一性，Galois 自同构（Frobenius 映射）。