代数扩张

域扩张的基本概念

设 $E \supseteq F$ 是两个域（$F$ 是 $E$ 的子域）。$E$ 可以看作 $F$ 上的向量空间。

扩张次数

$[E : F] = \dim_F E$

即 $E$ 作为 $F$-向量空间的维数，称为 $E$ 对 $F$ 的扩张次数。

• $[E : F] = 1 \iff E = F$（平凡扩张）
• $[E : F] < \infty$ 称为有限扩张
• $[E : F] = \infty$ 称为无限扩张

次数公式（塔式定理）

若 $F \subseteq K \subseteq E$，则：

$[E : F] = [E : K] \cdot [K : F]$

这是扩张论中最常用的计算公式。

代数元与超越元

定义

设 $E/F$ 为域扩张，$\alpha \in E$。

• 若存在非零多项式 $f(x) \in F[x]$ 使 $f(\alpha) = 0$，则称 $\alpha$ 在 $F$ 上是代数元
• 否则称 $\alpha$ 在 $F$ 上是超越元

极小多项式

若 $\alpha$ 是 $F$ 上的代数元，则存在唯一的首一不可约多项式 $m_\alpha(x) \in F[x]$ 使 $m_\alpha(\alpha) = 0$。$m_\alpha(x)$ 称为 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式。

极小多项式的次数 $d = \deg m_\alpha$ 称为 $\alpha$ 在 $F$ 上的次数。

关键性质

• $m_\alpha(x)$ 在 $F[x]$ 中不可约
• 若 $f(\alpha) = 0$，则 $m_\alpha(x) \mid f(x)$
• $F(\alpha) \cong F[x]/(m_\alpha(x))$
• $[F(\alpha) : F] = \deg m_\alpha$

代数扩张

若 $E$ 中每个元素都是 $F$ 上的代数元，则称 $E/F$ 为代数扩张。

定理：有限扩张 $\Rightarrow$ 代数扩张。反之不一定成立。

反例

$\overline{\mathbb{Q}}$（全体代数数构成的域）是 $\mathbb{Q}$ 的代数扩张，但是无限扩张。

典型例子

扩张	次数	代数/超越
$\mathbb{C} / \mathbb{R}$	$2$	代数（极小多项式 $x^2+1$，$\alpha = i$）
$\mathbb{Q}(\sqrt{2}) / \mathbb{Q}$	$2$	代数（极小多项式 $x^2-2$）
$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) / \mathbb{Q}$	$3$	代数（极小多项式 $x^3-2$）
$\mathbb{Q}(\pi) / \mathbb{Q}$	$\infty$	超越（$\pi$ 是超越数）
$\mathbb{F}_{p^n} / \mathbb{F}_p$	$n$	代数