有限域

有限域（也称 Galois 域）是元素个数有限的域。它在编码理论、密码学和组合设计中具有核心地位。

有限域的基本性质

特征必为素数

定理：有限域的特征必为素数 $p$。

证明：特征不可能是 $0$（否则包含 $\mathbb{Q}$，无限），故 $\operatorname{char}(F) = p$。

元素个数必为素数幂

定理：有限域 $F$ 的元素个数必为 $p^n$，其中 $p = \operatorname{char}(F)$，$n = [F : \mathbb{F}_p]$。

记 $\mathbb{F}_q$ 表示 $q = p^n$ 元有限域。

乘法群是循环群

定理：$\mathbb{F}_q^{\times} = \mathbb{F}_q \setminus \{0\}$ 是 $q-1$ 阶循环群。

推论：存在 $\alpha \in \mathbb{F}_q$（本原元），使 $\mathbb{F}_q^{\times} = \langle \alpha \rangle$。因此 $\mathbb{F}_q = \{0, 1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{q-2}\}$。

$x^{q} - x$ 的分解

定理：在 $\mathbb{F}_q[x]$ 中： $x^{q} - x = \prod_{a \in \mathbb{F}_q} (x - a)$

即 $\mathbb{F}_q$ 中每个元素都是 $x^{q} - x$ 的根。这给出了有限域的一个等价刻画：$\mathbb{F}_q$ 是 $x^q - x$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上的分裂域。

存在性与唯一性

定理：对任意素数 $p$ 和正整数 $n$，存在且（同构意义下）唯一的 $p^n$ 元有限域，记作 $\mathbb{F}_{p^n}$。

构造方法

设 $f(x)$ 是 $\mathbb{F}_p[x]$ 中 $n$ 次不可约多项式，则：

$\mathbb{F}_{p^n} \cong \mathbb{F}_p[x] / (f(x))$

例如 $\mathbb{F}_8$ 可由 $\mathbb{F}_2[x]/(x^3+x+1)$ 构造。

子域结构

定理

$\mathbb{F}_{p^n}$ 的子域恰为 $\mathbb{F}_{p^d}$，其中 $d \mid n$。

• $\mathbb{F}_4 \subset \mathbb{F}_{16}$（$2 \mid 4$）
• $\mathbb{F}_8$ 不包含 $\mathbb{F}_4$（$2 \nmid 3$）

所有子域

$\mathbb{F}_{p^n}$ 的所有子域为 $\{\mathbb{F}_{p^d} \mid d \mid n\}$，构成一个与 $n$ 的正因子一一对应的格。

Galois 群与 Frobenius 自同构

Frobenius 自同构

在 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上，Frobenius 映射：

$\varphi_p: \mathbb{F}_{p^n} \to \mathbb{F}_{p^n}, \quad a \mapsto a^p$

是域自同构（且是 $\mathbb{F}_p$-自同构）。

Galois 群

$\mathbb{F}_{p^n} / \mathbb{F}_p$ 的 Galois 群是 $n$ 阶循环群：

$\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^n} / \mathbb{F}_p) = \langle \varphi_p \rangle \cong \mathbb{Z}_n$

有限域上的多项式

不可约多项式分解

在 $\mathbb{F}_p[x]$ 中，$f(x) = x^{p^n} - x$ 分解为 $\mathbb{F}_p$ 上所有次数整除 $n$ 的不可约多项式的乘积。

推论：$\mathbb{F}_p[x]$ 中存在任意次数的不可约多项式。这保证了任意阶有限域的存在性。

举例：$\mathbb{F}_2[x]$ 中的不可约多项式

次数	不可约多项式
1	$x, x+1$
2	$x^2 + x + 1$
3	$x^3 + x + 1, x^3 + x^2 + 1$

有限域 vs 无限域 速查

性质	有限域 $\mathbb{F}_{p^n}$	无限域 $\mathbb{Q}$
元素个数	$p^n$	无限
特征	$p$	$0$
乘法群	循环群	不是循环群
代数闭包	不是代数闭域	代数闭包为 $\overline{\mathbb{Q}}$
Frobenius	是域自同构	不是（$a^p$ 不是同态）