双线性函数

双线性函数是对两个变量都线性的函数，是内积的推广。双线性函数自然引出对偶空间、对偶基、辛空间等概念。

线性函数（线性泛函）

定义

设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间。映射 $f: V \to P$ 若满足：

$f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta), \quad f(k\alpha) = k f(\alpha)$

则称 $f$ 为 $V$ 上的一个线性函数。

线性函数的表示

设 $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的基。对任意 $\alpha = \sum x_i \varepsilon_i$：

$f(\alpha) = \sum_{i=1}^{n} a_i x_i, \quad a_i = f(\varepsilon_i)$

即线性函数由系数向量 $(a_1, \ldots, a_n)$ 唯一确定。

对偶空间

定义

$V$ 上全体线性函数构成的集合记作 $V^*$，在通常的函数加法和数乘下，$V^*$ 也是一个线性空间，称为 $V$ 的对偶空间。

$\dim V^* = \dim V$

对偶基

设 $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的基。定义线性函数 $f_i \in V^*$：

$f_i(\varepsilon_j) = \delta_{ij}$

则 $f_1, \ldots, f_n$ 是 $V^*$ 的一基，称为 $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ 的对偶基。

双线性函数

定义

映射 $B: V \times V \to P$ 称为双线性函数，若它对两个变量都是线性的：

1. $B(k\alpha + l\beta, \gamma) = kB(\alpha, \gamma) + lB(\beta, \gamma)$
2. $B(\gamma, k\alpha + l\beta) = kB(\gamma, \alpha) + lB(\gamma, \beta)$

矩阵表示

在基 $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ 下，设 $A_{ij} = B(\varepsilon_i, \varepsilon_j)$。则对 $\alpha = \sum x_i \varepsilon_i$，$\beta = \sum y_j \varepsilon_j$：

$B(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij} x_i y_j = X^\top A Y$

矩阵 $A$ 称为 $B$ 在基 $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ 下的度量矩阵。

基变换下度量矩阵的变换

若基变换的过渡矩阵为 $C$（新基 = 原基 $\cdot C$），则新度量矩阵：

$A' = C^\top A C$

这与二次型在合同变换下的变化规律一致。

双线性函数的分类

类型	条件
对称双线性函数	$B(\alpha, \beta) = B(\beta, \alpha)$
反对称双线性函数	$B(\alpha, \beta) = -B(\beta, \alpha)$
非退化	若 $B(\alpha, \beta) = 0$ 对任意 $\beta$ 成立，则 $\alpha = 0$

• 欧氏空间的内积 = 对称正定双线性函数
• 辛内积 = 非退化反对称双线性函数

辛空间

定义

带有非退化反对称双线性函数的线性空间称为辛空间（Symplectic Space）。

基本性质

1. 辛空间的维数必为偶数
2. 存在基使反对称度量矩阵为：

0 & I_k \\ -I_k & 0 \end{array}\right)$$ 此基称为**辛基**。 3. 辛空间中保持辛内积的线性变换称为**辛变换**，其行列式为 $1$ ### 辛空间的意义 辛空间是经典力学（哈密顿力学）的数学基础，也是现代辛几何和辛拓扑的出发点。