Smith 标准形与不变因子

λ-矩阵的 Smith 标准形是数字矩阵 Jordan 标准形理论的桥梁。通过初等变换将 λ-矩阵化为对角标准形后，对角元——不变因子——是矩阵相似的全系不变量。

λ-矩阵的定义

以 $P[\lambda]$ 中多项式为元素的 $m \times n$ 矩阵 $A(\lambda)$ 称为 λ-矩阵。

• 数字矩阵是 λ-矩阵的特例（零次多项式）
• 等价地：$A(\lambda) = A_0 + A_1 \lambda + \cdots + A_k \lambda^k$

秩

若 $A(\lambda)$ 存在一个 $r$ 阶子式不恒为零，而所有 $r+1$ 阶子式恒为零，则称 $A(\lambda)$ 的秩为 $r$。

λ-矩阵的初等变换

类型	操作
行（列）互换	交换两行（列）
行（列）倍增	某行（列）乘以非零常数 $c \in P$
行（列）倍加	某行（列）加上另一行（列）的 $\varphi(\lambda)$ 倍

注意：倍增只能用常数（不能用非常数多项式），否则可能改变行列式因子。

若 $A(\lambda)$ 可通过有限次初等变换化为 $B(\lambda)$，则称 $A$ 与 $B$ 相抵（等价）。

Smith 标准形

定理：任何秩为 $r$ 的 λ-矩阵 $A(\lambda)$ 可经初等变换化为唯一的标准形：

$$\left(\begin{array}{cccc} d_1(\lambda) & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & d_r(\lambda) & & & \\ & & & 0 & & \\ & & & & \ddots & \end{array}\right)$$

其中 $d_i(\lambda)$ 是首一多项式，且满足整除关系： $d_1(\lambda) \mid d_2(\lambda) \mid \cdots \mid d_r(\lambda)$

$d_i(\lambda)$ 称为 $A(\lambda)$ 的不变因子。

行列式因子

定义

$D_k(\lambda)$ = $A(\lambda)$ 中所有 $k$ 阶子式的最大公因式（首一）。

$D_k$ 称为 $A(\lambda)$ 的第 $k$ 个行列式因子（$k = 1, 2, \ldots, r$）。

性质

1. $D_{k} \mid D_{k+1}$（相邻的行列式因子有整除关系）
2. 初等变换不改变行列式因子（因此 $D_k$ 是相抵不变量）

不变因子与行列式因子的关系

$d_k(\lambda) = \frac{D_k(\lambda)}{D_{k-1}(\lambda)} \quad (k = 1, \ldots, r)$

其中 $D_0(\lambda) \equiv 1$。

反之：

$D_k(\lambda) = d_1(\lambda) d_2(\lambda) \cdots d_k(\lambda)$

相抵的判定

定理：两个 $m \times n$ 的 λ-矩阵相抵 $\iff$ 它们有相同的秩和相同的行列式因子 $\iff$ 它们有相同的不变因子。

两个 λ-矩阵相抵当且仅当它们有相同的不变因子。

数字矩阵的特征矩阵

$A \in P^{n \times n}$ 的特征矩阵是 $\lambda I - A$。数字矩阵的相似理论正是通过特征矩阵的相抵理论来研究的。

核心结论：$A \sim B \iff \lambda I - A$ 与 $\lambda I - B$ 相抵。

这说明：数字矩阵的相似分类等价于其特征矩阵的相抵分类。