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不变子空间

不变子空间是线性变换的结构理论基石——它将线性变换限制在子空间上，从而实现空间的分解和矩阵的分块对角化。

定义​

设 σ\sigma 是线性空间 VV 上的线性变换，W⊆VW \subseteq V 是子空间。若

σ(W)⊆W(∀w∈W,σ(w)∈W)\sigma(W) \subseteq W \quad (\forall w \in W, \sigma(w) \in W)

则称 WW 为 σ\sigma-不变子空间。

基本性质​

  • {0}\{0\} 和 VV 自身总是 σ\sigma-不变子空间（平凡不变子空间）
  • 任意多个 σ\sigma-不变子空间的交仍是 σ\sigma-不变子空间
  • 任意多个 σ\sigma-不变子空间的和仍是 σ\sigma-不变子空间

重要例子​

不变子空间说明
ker⁡σ\ker \sigma核是不变子空间
im⁡σ\operatorname{im} \sigma像是不变子空间
特征子空间 VλV_\lambdaVλ={α∣σ(α)=λα}V_\lambda = \{\alpha \mid \sigma(\alpha) = \lambda \alpha\}
根子空间{α∣(σ−λI)kα=0}\{\alpha \mid (\sigma - \lambda \mathcal{I})^k \alpha = 0\}
C[σ](α)\mathbb{C}[\sigma](\alpha)由 α\alpha 生成的循环子空间

不变子空间与矩阵​

若 V=W1⊕W2⊕⋯⊕WsV = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_s，且每个 WiW_i 是 σ\sigma-不变子空间，则 σ\sigma 在此分解下的矩阵为分块对角阵：

A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s \end{array}\right)$$ 其中 $A_i$ 是 $\sigma|_{W_i}$ 在 $W_i$ 的某组基下的矩阵。 ## Hamilton-Cayley 定理 > **定理**：设 $\sigma$ 的特征多项式为 $f(\lambda) = \det(\lambda \mathcal{I} - \sigma)$，则 > $$f(\sigma) = 0$$ > 即特征多项式是 $\sigma$ 的一个**零化多项式**。 这是不变子空间理论的最重要推论——它为后续的空间分解（准素分解）奠定了基础。 ## 准素分解定理 > **定理**：设 $\sigma$ 的特征多项式为 $f(\lambda) = \prod_{i=1}^{s} (\lambda - \lambda_i)^{n_i}$（各 $\lambda_i$ 互异）。令 > $$V_i = \ker(\sigma - \lambda_i \mathcal{I})^{n_i} = \{\alpha \mid (\sigma - \lambda_i \mathcal{I})^{n_i} \alpha = 0\}$$ > 则 $V = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s$，且每个 $V_i$ 是 $\sigma$-不变子空间。 $V_i$ 称为 $\lambda_i$ 的**根子空间**（广义特征子空间）。 ### 意义 准素分解将 $V$ 以特征值为线索分解为不变子空间的直和。在 $V_i$ 上，$\sigma$ 的矩阵相似于 $\lambda_i I + N_i$，其中 $N_i$ 是幂零矩阵。这直接通向 Jordan 标准形。