最小多项式

最小多项式是"次数最低"的零化多项式，它比特征多项式更精细地刻画了线性变换的结构。判定可对角化、求 Jordan 标准形都离不开它。

零化多项式

若多项式 $g(\lambda) \in P[\lambda]$ 满足 $g(\sigma) = 0$（零变换），则称 $g$ 是 $\sigma$ 的一个零化多项式。

• Hamilton-Cayley 定理：特征多项式 $f(\lambda)$ 是 $\sigma$ 的零化多项式
• 零化多项式不唯一（任何一个零化多项式乘以任意多项式仍是零化多项式）

最小多项式的定义

$\sigma$ 的最小多项式 $m(\lambda)$ 是：

1. $\sigma$ 的零化多项式中次数最低的
2. 首一的
3. 整除所有其他零化多项式

基本性质

性质	说明
最小多项式存在且唯一	由零化多项式集合取次数最低的首一多项式
$m(\lambda) \mid f(\lambda)$	最小多项式整除特征多项式
$m$ 与 $f$ 有相同的根	每个特征值都是最小多项式的根
$m \mid g \iff g$ 是零化多项式	所有零化多项式都是最小多项式的倍式
$A$ 可对角化 $\iff$ $m$ 无重根	最重要的判定定理之一

最小多项式 vs 特征多项式

	最小多项式	特征多项式
定义	次数最低的零化多项式	$\det(\lambda I - A)$
次数	$\leq n$	$n$
根	所有特征值（无重数信息）	所有特征值（带代数重数）
重根	可以有，但若可对角化则无	反映代数重数
作用	判断可对角化、决定不变因子	反映矩阵大小和特征值积

如何求最小多项式

1. 由 H-C 定理知 $m(\lambda) \mid f(\lambda)$
2. 对特征多项式的每个不可约因子 $p(\lambda)$，确定 $m$ 中 $p$ 的幂次
3. $m$ 中 $p$ 的幂次 = 使 $p(\sigma)^k = 0$ 的最小 $k$

实用方法：

• 求出特征多项式 $f(\lambda)$
• 从 $f$ 的因式中尝试，检验哪一个是零化多项式
• 最小的那个就是 $m$

举例

$A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$（单位阵）。

$f(\lambda) = (\lambda - 1)^3$。但是 $m(\lambda) = \lambda - 1$——次数更低，因为 $A - I = 0$。

$A = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$。

$f(\lambda) = (\lambda - 2)^3$。检验 $(\lambda - 2)$ 不是零化多项式，$(\lambda - 2)^2$ 也不是，$(\lambda - 2)^3$ 是。故 $m(\lambda) = (\lambda - 2)^3 = f(\lambda)$。

与 Jordan 标准形的关系

最小多项式决定 Jordan 标准形中最大 Jordan 块的阶数。具体地：

• 对每个特征值 $\lambda_i$，最小多项式中 $(\lambda - \lambda_i)$ 的幂次 = $\lambda_i$ 对应的最大的 Jordan 块的阶数

这提供了从矩阵直接到 Jordan 形部分信息的一条快捷途径。