数域与带余除法

多项式理论的根基是数域和带余除法。带余除法是整除理论、最大公因式、辗转相除法的起点。

数域

定义

设 $P$ 是复数集 $\mathbb{C}$ 的子集，包含 $0$ 和 $1$。若 $P$ 对加、减、乘、除（除数不为零）封闭，则称 $P$ 为一个数域。

常见数域

数域	记号	说明
有理数域	$\mathbb{Q}$	最小的数域
实数域	$\mathbb{R}$
复数域	$\mathbb{C}$	最大的数域
二次域	$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$	$\{a+b\sqrt{d} \mid a,b\in\mathbb{Q}\}$

任意数域都包含 $\mathbb{Q}$。因此 $\mathbb{Q}$ 是"最小"的数域。

一元多项式

定义

数域 $P$ 上的一元多项式：

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_i \in P$

若 $a_n \neq 0$，称 $\deg f = n$ 为 $f$ 的次数，$a_n$ 为首项系数。

• 首项系数为 $1$ 时称为首一多项式
• 零多项式不定义次数（或 $\deg 0 = -\infty$）
• $P[x]$ 表示 $P$ 上全体一元多项式构成的环

多项式环 $P[x]$ 的性质

$P[x]$ 是一个整环（交换、含幺、无零因子）：

$\deg(fg) = \deg f + \deg g$

带余除法

定理：设 $f(x), g(x) \in P[x]$，$g(x) \neq 0$。则存在唯一的 $q(x), r(x) \in P[x]$，使 $f(x) = g(x) q(x) + r(x)$ 其中 $r(x) = 0$ 或 $\deg r < \deg g$。

• $q(x)$ 称为商
• $r(x)$ 称为余式
• $r(x) = 0$ 时，称 $g(x)$ 整除 $f(x)$，记作 $g(x) \mid f(x)$

整除的基本性质

1. 传递性：$f \mid g$ 且 $g \mid h \Rightarrow f \mid h$
2. 线性组合：$f \mid g$ 且 $f \mid h \Rightarrow f \mid (ug + vh)$
3. 相伴：$f \mid g$ 且 $g \mid f \iff f = cg$（$c \neq 0$ 常数）
4. 整除关系与数域扩大无关——在某数域可整除，在更大数域也可整除

综合除法

对于 $g(x) = x - a$ 的情形，带余除法可简化为综合除法（Horner法）：

$f(x) = (x-a)q(x) + f(a)$

特别地，$f(a) = 0 \iff (x-a) \mid f(x)$（余数定理）。

最大公因式的引出

带余除法自然引向辗转相除法求最大公因式，详见最大公因式与因式分解。