最大公因式与因式分解

最大公因式

定义

设 $f(x), g(x) \in P[x]$ 不全为零。若 $d(x)$ 满足：

1. $d(x)$ 是 $f$ 和 $g$ 的公因式（$d \mid f$ 且 $d \mid g$）
2. $f$ 和 $g$ 的任意公因式都整除 $d(x)$

则称 $d(x)$ 为 $f$ 与 $g$ 的一个最大公因式，记作 $(f(x), g(x))$。

在相伴意义下（差一个非零常数倍），最大公因式是唯一的，习惯取首一的那个。

最大公因式的存在性：辗转相除法

对不全为零的 $f, g$（设 $\deg f \geq \deg g$），反复做带余除法：

$f = g q_1 + r_1, \quad \deg r_1 < \deg g$

$g = r_1 q_2 + r_2, \quad \deg r_2 < \deg r_1$

$\vdots$

$r_{k-2} = r_{k-1} q_k + r_k, \quad \deg r_k < \deg r_{k-1}$

$r_{k-1} = r_k q_{k+1} + 0$

则最后一个非零余式 $r_k$ 就是 $f$ 与 $g$ 的最大公因式。

最大公因式的组合表示

裴蜀等式：存在 $u(x), v(x) \in P[x]$，使

$(f(x), g(x)) = u(x)f(x) + v(x)g(x)$

互素

若 $(f, g) = 1$（即最大公因式为非零常数），则称 $f$ 与 $g$ 互素。

互素判定：$f$ 与 $g$ 互素 $\iff$ $\exists u, v \in P[x]$ 使 $uf + vg = 1$

重要性质：

• 若 $(f, g) = 1$ 且 $f \mid gh$，则 $f \mid h$
• 若 $(f, g) = 1$ 且 $(f, h) = 1$，则 $(f, gh) = 1$
• 互素性也与数域扩大无关

不可约多项式

定义

设 $p(x) \in P[x]$ 是非常数多项式。若 $p(x)$ 不能写为两个次数更低的多项式的乘积，则称 $p(x)$ 在 $P$ 上不可约。

注意：不可约性依赖于数域。例如 $x^2 - 2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，但在 $\mathbb{R}$ 上可约。

不可约多项式的基本性质

1. 若 $p$ 不可约且 $p \mid fg$，则 $p \mid f$ 或 $p \mid g$
2. 不可约多项式类似于整数中的"素数"

因式分解唯一性定理

定理：$P[x]$ 中每个次数 $\geq 1$ 的多项式可唯一地分解为不可约多项式的乘积（不计顺序和常数因子）。

即：

$f(x) = a \cdot p_1^{k_1}(x) \cdot p_2^{k_2}(x) \cdots p_s^{k_s}(x)$

其中 $a$ 是 $f$ 的首项系数，$p_i(x)$ 是两两互素的不可约多项式。

这是代数基本定理的推广——$P[x]$ 是唯一分解整环 (UFD)。

多项式函数与多项式根

根（零点）

$a \in P$ 是 $f(x)$ 的根 $\iff$ $f(a) = 0$ $\iff$ $(x-a) \mid f(x)$。

重数

若 $(x-a)^k \mid f(x)$ 而 $(x-a)^{k+1} \nmid f(x)$，则称 $a$ 是 $f$ 的 $k$ 重根。

$n$ 次多项式最多有 $n$ 个根

在任意数域中，非零的 $n$ 次多项式最多有 $n$ 个不同的根（计重数最多 $n$ 个）。