群论
群论（Group Theory）是抽象代数的核心分支，研究具有一种二元运算的代数结构——群。它起源于 Galois 对多项式方程可解性的研究，如今已成为数学和物理的基础语言。
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一、群的基本概念
从群的公理化定义出发，介绍子群、陪集、Lagrange 定理和正规子群等核心基础概念。
二、群同态与同构
研究群之间保持结构的映射——同态，以及由此引申的同构概念和四大同构定理。
三、交换群与循环群
研究最简单的群类——交换群（阿贝尔群），特别是可由单个元素生成的循环群。
四、置换群与对称群
置换群是群论的历史起点，对称群 是最重要的有限群之一。Cayley 定理揭示任意群都可嵌入对称群。
五、商群
由正规子群的陪集构造商群，是群论的核心构造方法，也是同态基本定理的自然产物。
六、Sylow 定理
Sylow 三大定理揭示了有限群中 -子群的存在性、共轭性和计数规律，是有限群结构分析的基石。
七、群的直积
利用已知群通过直积构造新群，包含外直积、内直积以及半直积的推广。
八、群在集合上的作用
群作用是连接抽象群与具体对象的桥梁。涵盖轨道、稳定子群、轨道-稳定子定理、Burnside 引理、类方程及共轭作用等核心工具。