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交换群（Abelian Group）

定义​

设 GG 为群。若对任意 a,b∈Ga, b \in G，有 ab=baab = ba，则称 GG 为交换群或阿贝尔群（Abelian Group）。

命名来源：以挪威数学家 Niels Henrik Abel 命名，他最早研究了这类群的性质。

判定条件​

以下条件等价于 GG 为交换群：

  • ∀a,b∈G\forall a, b \in G，有 ab=baab = ba
  • 换位子群 [G,G]={e}[G, G] = \{e\}
  • 映射 g↦g−1g \mapsto g^{-1} 是群同构
  • 映射 g↦g2g \mapsto g^2 是群同态

基本性质​

  1. 子群均正规：交换群的任意子群都是正规子群
  2. 有限生成交换群结构定理：有限生成交换群可分解为循环群的直和
  3. 有限交换群基本定理：任意有限交换群同构于循环群的直积

有限交换群基本定理​

设 GG 为有限交换群，则：

G≅Zp1e1×Zp2e2×⋯×ZpkekG \cong \mathbb{Z}_{p_1^{e_1}} \times \mathbb{Z}_{p_2^{e_2}} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_k^{e_k}}

其中 pip_i 为素数（不必互异），且此分解在排列意义下唯一。

等价形式（不变因子）： G≅Zd1×Zd2×⋯×ZdrG \cong \mathbb{Z}_{d_1} \times \mathbb{Z}_{d_2} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_r}

其中 d1∣d2∣⋯∣drd_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r，且 did_i 由 GG 唯一确定，称为不变因子。

常见例子​

群类型说明
Z\mathbb{Z}无限循环加法群
Zn\mathbb{Z}_n有限循环模 nn 加法
R\mathbb{R}无限加法
C∗\mathbb{C}^*无限非零复数乘法
V4V_4有限Klein 四元群，Z2×Z2\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2
Q\mathbb{Q}无限有理数加法

自由交换群​

秩为 rr 的自由交换群同构于 Zr=Z×Z×⋯×Z\mathbb{Z}^r = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}（rr 个）。

有限交换群的分类​

按阶分类的小阶交换群：

阶 nn交换群（同构类）
2Z2\mathbb{Z}_2
3Z3\mathbb{Z}_3
4Z4\mathbb{Z}_4、Z2×Z2\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2
6Z6\mathbb{Z}_6
8Z8\mathbb{Z}_8、Z4×Z2\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2、Z2×Z2×Z2\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2
9Z9\mathbb{Z}_9、Z3×Z3\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3

与正规子群的关系​

从 Mermaid 图中可以看出：交换群 →\to 所有子群均正规。这是交换群最重要的推论之一，也是商群理论的基础。