循环群（Cyclic Group）

定义

若群 $G$ 可由单个元素生成，即

$G = \langle a \rangle = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

则称 $G$ 为循环群，$a$ 称为其生成元。

循环群必为交换群：$a^m \cdot a^n = a^{m+n} = a^n \cdot a^m$

循环群的分类

类型	条件	同构于	生成元个数
无限循环群	$	a	= \infty$
$n$ 阶循环群	$	a	= n$

其中 $\varphi$ 为欧拉函数，$\varphi(n)$ 表示 $1 \sim n$ 中与 $n$ 互质的整数个数。

循环群的基本性质

1. 子群也是循环群：循环群的子群必为循环群
2. 子群与阶一一对应：$n$ 阶循环群 $\mathbb{Z}_n$ 的子群与 $n$ 的正因子一一对应
3. 每个因子对应唯一子群：对 $n$ 的每个正因子 $d$，$\mathbb{Z}_n$ 有唯一的 $d$ 阶子群 $\langle a^{n/d} \rangle$
4. 元素的阶：$\mathbb{Z}_n$ 中，$a^k$ 的阶为 $n / \gcd(n, k)$

生成元的判定

在 $\mathbb{Z}_n$ 中，$\overline{k}$（$1 \leqslant k \leqslant n$）是生成元当且仅当 $\gcd(k, n) = 1$。

$\mathbb{Z}_n$ 的子群格

以 $\mathbb{Z}_{12}$ 为例：

子群格与正因子：$\mathbb{Z}_{12}$ 的正因子：1, 2, 3, 4, 6, 12。子群格反映了整除关系的倒置。

重要的循环群实例

实例	阶	说明
$(\mathbb{Z}_n, +)$	$n$	模 $n$ 加法
$(U_n, \times)$	$\varphi(n)$	模 $n$ 乘法群（不一定循环）
$n$ 次单位根群	$n$	$\{e^{2\pi i k/n} \mid 0 \leqslant k < n\}$
旋转群 $C_n$	$n$	平面的 $n$ 次旋转

与交换群的关系

从 Mermaid 图可见：

$\text{循环群} \subset \text{交换群} \subset \text{群}$

循环群是最"简单"的群结构，由单个生成元完全确定。