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群的基本概念

群论是抽象代数的核心分支，研究具有一种二元运算的代数结构。

群的定义​

设 GG 是一个非空集合，其上定义了一个二元运算 ⋅\cdot（称为乘法）。若满足以下四条公理，则称 (G,⋅)(G, \cdot) 为一个群：

  1. 封闭性：∀a,b∈G\forall a, b \in G，有 a⋅b∈Ga \cdot b \in G
  2. 结合律：∀a,b,c∈G\forall a, b, c \in G，有 (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
  3. 单位元：∃e∈G\exists e \in G，使得 ∀a∈G\forall a \in G，有 e⋅a=a⋅e=ae \cdot a = a \cdot e = a
  4. 逆元：∀a∈G\forall a \in G，∃a−1∈G\exists a^{-1} \in G，使得 a⋅a−1=a−1⋅a=ea \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e

基本性质​

  • 单位元唯一：若 e,e′e, e' 均为单位元，则 e=e⋅e′=e′e = e \cdot e' = e'
  • 逆元唯一：每个元素的逆元唯一
  • 消去律：若 ab=acab = ac，则 b=cb = c（左消去律）；若 ba=caba = ca，则 b=cb = c（右消去律）

群的阶​

  • 群 GG 中元素的个数称为群的阶，记作 ∣G∣|G|
  • 若 ∣G∣|G| 有限，称 GG 为有限群；否则为无限群

元素的阶​

对 a∈Ga \in G，使得 an=ea^n = e 的最小正整数 nn 称为元素 aa 的阶，记作 ∣a∣|a|。若不存在这样的 nn，则称 aa 的阶为无穷。

常见例子​

群运算阶
Z\mathbb{Z}加法无限
Zn\mathbb{Z}_n模 nn 加法nn
R∗\mathbb{R}^*乘法无限
GLn(R)GL_n(\mathbb{R})矩阵乘法无限
SnS_n置换复合n!n!

子主题​