Skip to main content

正规子群

定义​

设 N⩽GN \leqslant G。若对任意 g∈Gg \in G，有 gNg−1=NgNg^{-1} = N（或等价地 gN=NggN = Ng），则称 NN 为 GG 的正规子群，记作 N⊴GN \trianglelefteq G。

直观理解：正规子群在共轭作用下不变，左右陪集一致。这使得我们可以在陪集上定义群运算，构造商群。

等价判定​

以下条件等价于 N⊴GN \trianglelefteq G：

  1. ∀g∈G,n∈N\forall g \in G, n \in N，有 gng−1∈Ngng^{-1} \in N
  2. ∀g∈G\forall g \in G，有 gN=NggN = Ng
  3. ∀g∈G\forall g \in G，有 gNg−1⊆NgNg^{-1} \subseteq N
  4. NN 的所有左陪集也是右陪集

正规子群的基本性质​

  1. 平凡正规子群：{e}⊴G\{e\} \trianglelefteq G 且 G⊴GG \trianglelefteq G
  2. 交换群的子群：若 GG 为交换群，则 GG 的任意子群都是正规子群
  3. 指数为 2 的子群：若 [G:H]=2[G:H] = 2，则 H⊴GH \trianglelefteq G
  4. 正规子群的交：正规子群的交集仍是正规子群
  5. 正规子群的乘积：若 N,M⊴GN, M \trianglelefteq G，则 NM⊴GNM \trianglelefteq G

与同态的核的关系​

群同态的核总是正规子群，反之任意正规子群都是某个同态的核：

N⊴G  ⟺  N=ker⁡φ（某个同态 φ 的核）N \trianglelefteq G \iff N = \ker \varphi \text{（某个同态 }\varphi\text{ 的核）}

具体地，NN 是自然同态 π:G→G/N\pi: G \to G/N 的核。

单群​

若 GG 没有非平凡的正规子群，则称 GG 为单群（Simple Group）。

  • 素数阶循环群 Zp\mathbb{Z}_p 是单群
  • 交错群 AnA_n（n≥5n \geq 5）是单群
  • 有限单群的分类是 20 世纪数学的重大成就

正规化子​

设 H⩽GH \leqslant G，HH 在 GG 中的正规化子为：

NG(H)={g∈G∣gHg−1=H}N_G(H) = \{g \in G \mid gHg^{-1} = H\}

  • H⊴NG(H)H \trianglelefteq N_G(H)
  • H⊴G  ⟺  NG(H)=GH \trianglelefteq G \iff N_G(H) = G
  • NG(H)N_G(H) 是 GG 中使得 HH 正规的最大子群

常见例子​

  • An⊴SnA_n \trianglelefteq S_n（交错群是对称群的正规子群）
  • SLn(R)⊴GLn(R)SL_n(\mathbb{R}) \trianglelefteq GL_n(\mathbb{R})
  • 群的中心 Z(G)⊴GZ(G) \trianglelefteq G
  • 换位子群 G′=[G,G]⊴GG' = [G, G] \trianglelefteq G