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群在集合上的作用

群作用（Group Action）是将抽象的群与具体的几何/组合对象联系起来的桥梁。它使群"活"起来——群元素变成集合上的变换，从而可以用群论工具解决计数、对称性分类等问题。

定义​

群作用​

设 GG 为群，XX 为非空集合。一个 GG 在 XX 上的（左）作用 是一个映射：

⋅:G×X→X,(g,x)↦g⋅x\cdot : G \times X \to X, \quad (g, x) \mapsto g \cdot x

满足以下两个公理：

  1. 单位元作用：∀x∈X\forall x \in X，e⋅x=xe \cdot x = x
  2. 相容性：∀g,h∈G,x∈X\forall g, h \in G, x \in X，(gh)⋅x=g⋅(h⋅x)(gh) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)

此时称 XX 为一个 GG-集（GG-set）。

等价刻画：群作用   ⟺  \iff 群同态 φ:G→Sym⁡(X)\varphi: G \to \operatorname{Sym}(X)，其中 φ(g)(x)=g⋅x\varphi(g)(x) = g \cdot x。这个视角非常有用——群作用本质上是把群元素"表示"为集合上的置换。

一些基本概念​

概念记号定义
作用g⋅xg \cdot x群元素 gg 把 xx 映到某个元素
轨道G⋅xG \cdot x 或 Orb⁡(x)\operatorname{Orb}(x){g⋅x∣g∈G}\{g \cdot x \mid g \in G\}，xx 在群作用下能到达的所有点
稳定子群GxG_x 或 Stab⁡(x)\operatorname{Stab}(x){g∈G∣g⋅x=x}\{g \in G \mid g \cdot x = x\}，固定 xx 不动的群元素
不动点集XgX^g{x∈X∣g⋅x=x}\{x \in X \mid g \cdot x = x\}，被 gg 固定的元素
核ker⁡φ\ker \varphi对 ∀x\forall x 均作用为恒等的 gg 的集合
忠实作用—ker⁡φ={e}\ker \varphi = \{e\}，即只有单位元平凡作用
传递作用—∀x,y∈X\forall x, y \in X，∃g∈G\exists g \in G 使 g⋅x=yg \cdot x = y（只有一个轨道）

常见例子​

1. 置换群的自然作用​

对称群 SnS_n 自然作用于 {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}： σ⋅i=σ(i)\sigma \cdot i = \sigma(i)

这是最本质的群作用，Cayley 定理的本质就是任意群可以嵌入某个对称群的作用中。

2. 群在自身上的左乘作用​

任意群 GG 作用于自身： g⋅x=gxg \cdot x = gx

这个作用是传递的、忠实的。由此可得 Cayley 定理：GG 同构于 Sym⁡(G)\operatorname{Sym}(G) 的某个子群。

3. 共轭作用​

GG 作用于自身： g⋅x=gxg−1g \cdot x = gxg^{-1}

  • 轨道 = 共轭类 {gxg−1∣g∈G}\{gxg^{-1} \mid g \in G\}
  • 稳定子群 = 中心化子 CG(x)={g∈G∣gx=xg}C_G(x) = \{g \in G \mid gx = xg\}
  • 不动点集 GgG^g 中的元素是与 gg 交换的元素

4. 陪集空间上的作用​

GG 作用于商集 G/HG/H（H⩽GH \leqslant G）： g⋅(aH)=(ga)Hg \cdot (aH) = (ga)H

这个作用总是传递的。任何传递作用本质上都同构于这种形式。

5. 几何作用​

二面体群 D2nD_{2n} 作用于正 nn 边形的顶点集：

  • 旋转：r⋅vi=vi+1 mod nr \cdot v_i = v_{i+1 \bmod n}
  • 反射：s⋅vi=v−i mod ns \cdot v_i = v_{-i \bmod n}

本章结构：