Skip to main content

群同态

定义​

设 (G,⋅)(G, \cdot) 和 (H,∗)(H, *) 为两个群。映射 φ:G→H\varphi: G \to H 若满足：

φ(a⋅b)=φ(a)∗φ(b),∀a,b∈G\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b), \quad \forall a, b \in G

则称 φ\varphi 为从 GG 到 HH 的一个群同态（Group Homomorphism）。

同态的类型​

类型条件记号
单同态φ\varphi 为单射G↪HG \hookrightarrow H
满同态φ\varphi 为满射G↠HG \twoheadrightarrow H
同构φ\varphi 为双射G≅HG \cong H
自同态G=HG = HEnd⁡(G)\operatorname{End}(G)
自同构G=HG = H 且为双射Aut⁡(G)\operatorname{Aut}(G)

核与像​

核（Kernel）​

ker⁡φ={g∈G∣φ(g)=eH}\ker \varphi = \{g \in G \mid \varphi(g) = e_H\}

像（Image）​

im⁡φ={φ(g)∣g∈G}\operatorname{im} \varphi = \{\varphi(g) \mid g \in G\}

核与像的性质​

  1. ker⁡φ⊴G\ker \varphi \trianglelefteq G：核必为正规子群
  2. im⁡φ⩽H\operatorname{im} \varphi \leqslant H：像必为子群
  3. φ\varphi 为单同态   ⟺  ker⁡φ={eG}\iff \ker \varphi = \{e_G\}
  4. φ\varphi 为满同态   ⟺  im⁡φ=H\iff \operatorname{im} \varphi = H

同态的基本性质​

设 φ:G→H\varphi: G \to H 为群同态，则：

  1. 保单位元：φ(eG)=eH\varphi(e_G) = e_H
  2. 保逆元：φ(g−1)=(φ(g))−1\varphi(g^{-1}) = (\varphi(g))^{-1}
  3. 保幂：φ(gn)=(φ(g))n\varphi(g^n) = (\varphi(g))^n
  4. 保阶（整除关系）：∣φ(g)∣|\varphi(g)| 整除 ∣g∣|g|
  5. 子群的像：若 K⩽GK \leqslant G，则 φ(K)⩽H\varphi(K) \leqslant H
  6. 子群的原像：若 L⩽HL \leqslant H，则 φ−1(L)⩽G\varphi^{-1}(L) \leqslant G
  7. 正规子群的原像：若 L⊴HL \trianglelefteq H，则 φ−1(L)⊴G\varphi^{-1}(L) \trianglelefteq G

常见例子​

同态定义核
平凡同态φ(g)=eH\varphi(g) = e_HGG
行列式det⁡:GLn(R)→R∗\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*SLn(R)SL_n(\mathbb{R})
符号同态sgn⁡:Sn→{±1}\operatorname{sgn}: S_n \to \{\pm 1\}AnA_n
指数映射exp⁡:R→R+\exp: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+{0}\{0\}
模 nn 投影Z→Zn\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_nnZn\mathbb{Z}

同态的合成​

若 φ:G→H\varphi: G \to H 和 ψ:H→K\psi: H \to K 均为群同态，则 ψ∘φ:G→K\psi \circ \varphi: G \to K 也是群同态。