商群

来源

从 Mermaid 图中可以看到，正规子群的陪集构成商结构，即商群：

定义

设 $N \trianglelefteq G$。在 $N$ 的所有陪集的集合 $G/N = \{gN \mid g \in G\}$ 上定义乘法：

$(aN)(bN) = (ab)N$

则 $(G/N, \cdot)$ 构成群，称为 $G$ 对 $N$ 的商群（Quotient Group / Factor Group）。

商群的阶

由 Lagrange 定理：

$|G/N| = [G:N] = \frac{|G|}{|N|}$

良定义性

商群乘法的良定义依赖于 $N$ 的正规性：

• 若 $N$ 只是子群（不一定正规），则陪集上的该乘法未必良定义
• $N$ 正规 $\iff$ 该乘法良定义 $\iff$ $G/N$ 构成群

自然同态（典范投影）

映射 $\pi: G \to G/N$，$\pi(g) = gN$ 是满同态，称为自然同态（Natural Homomorphism）。

• $\ker \pi = N$
• $\operatorname{im} \pi = G/N$

由第一同构定理：$G/\ker\pi \cong \operatorname{im}\pi$，即 $G/N \cong G/N$（自洽）。

商群的性质

1. $G/N$ 的交换性：$G/N$ 交换 $\iff G' \subseteq N$（$G'$ 是换位子群）
2. 商群的子群：$G/N$ 的子群形如 $H/N$，其中 $N \subseteq H \leqslant G$（对应定理）
3. 商群的正规子群：$H/N \trianglelefteq G/N \iff H \trianglelefteq G$
4. 商群的商群：$(G/N)/(M/N) \cong G/M$（第三同构定理）

常见商群例子

商群	说明
$\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$	模 $n$ 加法群 $\mathbb{Z}_n$
$S_n / A_n$	$\cong \mathbb{Z}_2$
$GL_n(\mathbb{R}) / SL_n(\mathbb{R})$	$\cong \mathbb{R}^*$（由行列式）
$G / Z(G)$	$\cong \operatorname{Inn}(G)$（内自同构群）
$G / G'$	$G$ 的最大交换商群（Abelianization）

Abel 化

换位子群 $G' = [G, G]$ 总正规，商群 $G/G'$ 是交换群，且是所有交换商群中"最大"的。

$G \text{ 交换 } \iff G' = \{e\} \iff G/G' \cong G$

可解群

若存在正规列：

$\{e\} = G_0 \trianglelefteq G_1 \trianglelefteq \cdots \trianglelefteq G_n = G$

使得每个商群 $G_{i+1}/G_i$ 均为交换群，则称 $G$ 为可解群。

这是 Galois 理论中判别方程是否可用根式求解的关键概念。