Sylow 定理

Sylow 定理是有限群论中最重要的结构定理之一，揭示了有限群的 $p$-子群结构。

基本概念

$p$-群

设 $p$ 为素数。若群 $P$ 的每个元素的阶都是 $p$ 的幂，则称 $P$ 为 $p$-群。

等价地：$|P| = p^k$（$k \geq 0$）。

$p$-子群

$G$ 的子群若为 $p$-群，则称为 $G$ 的一个 $p$-子群。

Sylow $p$-子群

设 $|G| = p^k \cdot m$，其中 $p \nmid m$。$G$ 中阶为 $p^k$ 的子群称为 $G$ 的一个 Sylow $p$-子群。

即：Sylow $p$-子群是 $G$ 的极大的 $p$-子群。

Sylow 三大定理

第一定理（存在性）

设 $p$ 为素数，$|G| = p^k \cdot m$（$p \nmid m$），则 $G$ 存在至少一个 Sylow $p$-子群。

更一般地，对任意 $0 \leqslant i \leqslant k$，$G$ 存在 $p^i$ 阶子群。

第二定理（共轭性）

$G$ 的任意两个 Sylow $p$-子群相互共轭。

即若 $P, Q$ 均为 Sylow $p$-子群，则 $\exists g \in G$，使得 $Q = gPg^{-1}$。

进一步，$G$ 的任意 $p$-子群均包含在某个 Sylow $p$-子群中。

第三定理（计数定理）

设 $n_p$ 为 $G$ 中 Sylow $p$-子群的个数，则：

1. $n_p \equiv 1 \pmod{p}$（$n_p$ 模 $p$ 余 1）
2. $n_p \mid m$（$n_p$ 整除 $m$，其中 $|G| = p^k \cdot m, p \nmid m$）
3. $n_p = [G : N_G(P)]$（$n_p$ 等于正规化子的指数）

Sylow 子群的正规性

从 Mermaid 图中：

$\text{Sylow 子群唯一} \implies \text{该 Sylow 子群正规模}$

• 若 $n_p = 1$，则唯一的 Sylow $p$-子群 $P \trianglelefteq G$
• $P \trianglelefteq G \iff n_p = 1 \iff P$ 在共轭下不变

应用：判定群的结构

例 1：阶为 15 的群

$|G| = 15 = 3 \times 5$

• $n_3 \equiv 1 \pmod{3}$ 且 $n_3 \mid 5$ $\implies n_3 = 1$
• $n_5 \equiv 1 \pmod{5}$ 且 $n_5 \mid 3$ $\implies n_5 = 1$

唯一的 Sylow 3-子群和 Sylow 5-子群均正规，$G \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \cong \mathbb{Z}_{15}$。

例 2：阶为 12 的群

$|G| = 12 = 2^2 \times 3$

• $n_3 \equiv 1 \pmod{3}$ 且 $n_3 \mid 4$ $\implies n_3 = 1 \text{ 或 } 4$
• $n_2$ 为奇数且 $n_2 \mid 3$ $\implies n_3 = 1 \text{ 或 } 3$

因此阶 12 的群不唯一（有 5 个同构类，含 $A_4$）。

常见非交换群的 Sylow 结构

群	阶	Sylow 2-子群	Sylow 3-子群	Sylow 5-子群
$S_3$	6	$\mathbb{Z}_2$ ($n_2=3$)	$\mathbb{Z}_3$ ($n_3=1$)	—
$A_4$	12	$V_4$ ($n_2=1$)	$\mathbb{Z}_3$ ($n_3=4$)	—
$S_4$	24	$D_8$ ($n_2=3$)	$\mathbb{Z}_3$ ($n_3=4$)	—
$A_5$	60	$V_4$ ($n_2=5$)	$\mathbb{Z}_3$ ($n_3=10$)	$\mathbb{Z}_5$ ($n_5=6$)

Sylow 定理的证明思路

定理	核心工具
第一定理	群作用在子集族上 + 轨道公式
第二定理	Sylow $p$-子群在共轭作用下的轨道
第三定理	$p$-群作用的不动点定理 + 正规化子