参数表示法

当一阶方程不易直接解出 $y'$ 或不易用 $y = f(x)$ 表示时，可引入参数 $t$，将解表示为参数形式：

$x = \varphi(t), \quad y = \psi(t)$

这是处理某些特殊类型方程（如 Clairaut 方程、可解出 $x$ 或 $y$ 的隐式方程）的标准方法。

可解出 $y$ 的隐式方程

标准形式

$y = f(x, y')$

方程右端显含 $y'$，不便直接求解。

解法

令 $p = y'$，则 $y = f(x, p)$。两边对 $x$ 求导：

$\frac{dy}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial p} \cdot \frac{dp}{dx}$

而 $\dfrac{dy}{dx} = p$，故：

$p = f_x + f_p \cdot \frac{dp}{dx}$

这是关于 $x$ 和 $p$ 的一阶方程。若能解出 $p = p(x)$，则代入 $y = f(x, p)$ 得解。

若能解得 $x = \varphi(p)$，则得到参数表示：

$\begin{cases} x = \varphi(p) \\ y = f(\varphi(p), p) \end{cases}$

其中 $p$ 为参数。

可解出 $x$ 的隐式方程

标准形式

$x = g(y, y')$

解法

令 $p = y'$，则 $x = g(y, p)$。两边对 $y$ 求导，注意 $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{p}$：

$\frac{1}{p} = \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial g}{\partial p} \cdot \frac{dp}{dy}$

化为关于 $y$ 和 $p$ 的一阶方程。解出 $p = p(y)$ 后代回得解；或得参数表示 $y = \psi(p), x = g(\psi(p), p)$。

Clairaut 方程

标准形式

$y = x y' + f(y')$

这是可解出 $y$ 的特殊情况，其中 $y = xp + f(p)$。

解法

令 $p = y'$，则 $y = xp + f(p)$。两边对 $x$ 求导：

$p = p + x\frac{dp}{dx} + f'(p)\frac{dp}{dx}$

化简：

$\left[x + f'(p)\right]\frac{dp}{dx} = 0$

两种情况：

情形一：$\dfrac{dp}{dx} = 0 \Rightarrow p = C$（常数）。

代回 $y = xp + f(p)$ 得通解：

$y = Cx + f(C)$

这是一族直线。

情形二：$x + f'(p) = 0 \Rightarrow x = -f'(p)$。

得到奇解（参数形式）：

$\begin{cases} x = -f'(p) \\[4pt] y = -p f'(p) + f(p) \end{cases}$

奇解是通解直线族的包络线。

举例

求解 $y = xy' + \dfrac{1}{y'}$（$f(p) = \dfrac{1}{p}$）。

通解：$y = Cx + \dfrac{1}{C}$。

奇解：$x = -f'(p) = \dfrac{1}{p^2}$，$y = -p \cdot \left(-\dfrac{1}{p^2}\right) + \dfrac{1}{p} = \dfrac{2}{p}$。

消去 $p$：由 $p = \dfrac{2}{y}$，$x = \dfrac{y^2}{4}$，即 $y^2 = 4x$。

通解直线族 $y = Cx + 1/C$ 和奇解抛物线 $y^2 = 4x$。可以验证奇解是通解的包络线。

不显含 $x$ 或 $y$ 的方程的参数化

不显含 $y$：$F(x, y') = 0$

若能解出 $y' = \varphi(x)$，则直接积分。若不便解出，引入参数 $t$：

设 $y' = \psi(t)$（适当选取），则 $x$ 由 $F(x, \psi(t)) = 0$ 解出 $x = \varphi(t)$。再由 $dy = y' dx = \psi(t) \varphi'(t) dt$ 得：

$y = \int \psi(t) \varphi'(t) dt + C$

得参数解 $(x, y) = (\varphi(t), \int \psi\varphi' dt + C)$。

不显含 $x$：$F(y, y') = 0$

类似地，设 $y' = \psi(t)$，$y$ 由 $F(y, \psi(t)) = 0$ 解出 $y = \omega(t)$，再由 $dx = dy / y'$ 得 $x$。

举例

求解 $x = (y')^3 + y'$。

这是可解出 $x$ 的隐式方程：$x = p^3 + p$（$p = y'$）。

对 $y$ 求导：$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{p} = (3p^2 + 1) \cdot \dfrac{dp}{dy}$。

$\frac{dp}{dy} \cdot p (3p^2 + 1) = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dp} = p(3p^2 + 1)$

$y = \int p(3p^2 + 1) dp = \frac{3}{4}p^4 + \frac{1}{2}p^2 + C$

参数解：

$\begin{cases} x = p^3 + p \\[4pt] y = \dfrac{3}{4}p^4 + \dfrac{1}{2}p^2 + C \end{cases}$

方法总结

方程类型	方法	参数化步骤
$y = f(x, y')$	令 $p = y'$，对 $x$ 求导	$x = \varphi(p)$，$y = f(\varphi(p), p)$
$x = g(y, y')$	令 $p = y'$，对 $y$ 求导	$y = \psi(p)$，$x = g(\psi(p), p)$
Clairaut：$y = xy' + f(y')$	$\frac{dp}{dx}=0$ 或 $x+f'(p)=0$	通解 $y=Cx+f(C)$，奇解 $( -f'(p), -p f'(p)+f(p) )$
$F(x, y') = 0$	设 $y' = \psi(t)$，解 $x$	$x = \varphi(t)$，$y = \int \psi \varphi' dt + C$
$F(y, y') = 0$	设 $y' = \psi(t)$，解 $y$	$y = \omega(t)$，$x = \int \omega'/\psi \, dt + C$