变量分离、齐次与恰当方程

变量分离方程

标准形式

$\frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$

即右端可分解为只含 $x$ 的函数与只含 $y$ 的函数的乘积。

解法

当 $g(y) \neq 0$ 时，分离变量并积分：

$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \, dx + C$

注意：若 $g(y_0) = 0$，则 $y \equiv y_0$（常值解）可能也是解，需单独检查是否被通解包含。

举例

求解 $\dfrac{dy}{dx} = ky$（指数增长模型）：

$\int \frac{dy}{y} = \int k \, dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = kx + C \quad\Longrightarrow\quad y = Ce^{kx}$

齐次方程

标准形式

$\frac{dy}{dx} = F\!\left(\frac{y}{x}\right)$

即右端可表示为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

解法

设 $v = \dfrac{y}{x}$，即 $y = vx$，则 $\dfrac{dy}{dx} = v + x\dfrac{dv}{dx}$。代入原方程：

$v + x\frac{dv}{dx} = F(v) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{F(v) - v} = \frac{dx}{x}$

化为变量分离形式求解。

举例

求解 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x + y}{x - y}$：

$F(v) = \frac{1+v}{1-v}, \quad v + xv' = \frac{1+v}{1-v}$

$xv' = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v^2}{1-v}$

$\int \frac{1-v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$

$\arctan v - \frac{1}{2}\ln(1+v^2) = \ln|x| + C$

代回 $v = y/x$ 得隐式通解。

恰当方程（全微分方程）

标准形式

$M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0$

满足恰当性条件：

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

解法

存在函数 $u(x, y)$（势函数）使 $du = M\,dx + N\,dy = 0$。通解为 $u(x, y) = C$。

构造 $u$ 的方法：

$u(x, y) = \int_{x_0}^{x} M(t, y)\,dt + \int_{y_0}^{y} N(x_0, s)\,ds$

或

$u(x, y) = \int M\,dx + h(y), \quad \text{其中 } \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\int M\,dx\right) + h'(y) = N$

积分因子

若方程不满足恰当条件，可乘入积分因子 $\mu(x, y)$ 使之化为恰当方程：

$\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$

常见情形：

条件	积分因子
$\dfrac{M_y - N_x}{N}$ 仅依赖于 $x$	$\mu(x) = \exp\!\left(\int \dfrac{M_y - N_x}{N} dx\right)$
$\dfrac{N_x - M_y}{M}$ 仅依赖于 $y$	$\mu(y) = \exp\!\left(\int \dfrac{N_x - M_y}{M} dy\right)$

举例

求解 $(2xy + y^2)\,dx + (x^2 + 2xy)\,dy = 0$：

$M = 2xy + y^2$，$N = x^2 + 2xy$，检查 $\partial M/\partial y = 2x + 2y = \partial N/\partial x$，是恰当方程。

$u = \int M\,dx = x^2y + xy^2 + h(y), \quad \frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + 2xy + h'(y) = N$

故 $h'(y) = 0$，$u(x, y) = x^2y + xy^2 = C$ 为通解。