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基解矩阵与齐次通解

线性方程组的标准形式​

一阶线性齐次方程组：

X′=A(t)XX' = A(t) X

其中 X(t)∈RnX(t) \in \mathbb{R}^n（或 Cn\mathbb{C}^n），A(t)A(t) 为 n×nn \times n 矩阵函数，在区间 II 上连续。

任何高阶方程都可化为一阶方程组：y(n)+an−1y(n−1)+⋯+a0y=0y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_0 y = 0 可写为一阶方程组。

解空间的结构​

定理：nn 阶齐次线性方程组 X′=A(t)XX' = A(t)X 的所有解构成一个 nn 维线性空间。

因此，只需找到 nn 个线性无关的解，其任意线性组合就是通解。

基解矩阵​

定义​

n×nn \times n 矩阵 Φ(t)\Phi(t) 称为 X′=A(t)XX' = A(t)X 的基解矩阵（Fundamental Matrix），若：

  1. Φ(t)\Phi(t) 的每一列都是方程组的解
  2. Φ(t)\Phi(t) 的列向量线性无关（等价于 det⁡Φ(t)≠0\det \Phi(t) \neq 0）

齐次通解 = 基解矩阵 × 常向量： X(t)=Φ(t)⋅C,C=(C1,C2,…,Cn)⊤∈RnX(t) = \Phi(t) \cdot C, \quad C = (C_1, C_2, \ldots, C_n)^\top \in \mathbb{R}^n

Wronskian（朗斯基行列式）​

W(t)=det⁡Φ(t)W(t) = \det \Phi(t)

Liouville 公式（Abel 恒等式）： W(t)=W(t0)exp⁡ ⁣(∫t0ttr⁡A(s) ds)W(t) = W(t_0) \exp\!\left(\int_{t_0}^{t} \operatorname{tr} A(s)\,ds\right)

由此可知：W(t)≠0W(t) \neq 0 恒成立当且仅当 W(t0)≠0W(t_0) \neq 0。朗斯基行列式要么恒为零，要么恒不为零。

常系数线性方程组​

当 AA 为常数矩阵时，X′=AXX' = AX 的解可由矩阵指数表示。

矩阵指数​

eAt=∑k=0∞(At)kk!=I+At+A2t22!+⋯e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^k}{k!} = I + At + \frac{A^2 t^2}{2!} + \cdots

基本性质：

性质公式
导数ddteAt=AeAt\dfrac{d}{dt}e^{At} = A e^{At}
乘法eA(t+s)=eAteAse^{A(t+s)} = e^{At}e^{As}（当且仅当 AB=BAAB = BA 时 eA+B=eAeBe^{A+B} = e^A e^B）
逆(eAt)−1=e−At(e^{At})^{-1} = e^{-At}

基解矩阵 Φ(t)=eAt\Phi(t) = e^{At}​

  • Φ(0)=I\Phi(0) = I
  • Φ(t)\Phi(t) 是标准基解矩阵（在 t=0t = 0 处取单位阵）
  • 齐次通解：X(t)=eAt⋅CX(t) = e^{At} \cdot C
  • 初值问题 X(0)=X0X(0) = X_0 的解：X(t)=eAtX0X(t) = e^{At} X_0

矩阵指数的计算​

方法一：对角化​

若 A=PDP−1A = P D P^{-1}（DD 为对角阵），则：

eAt=P eDt P−1=P(eλ1t⋱eλnt)P−1e^{At} = P \, e^{Dt} \, P^{-1} = P \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 t} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n t} \end{pmatrix} P^{-1}

方法二：Jordan 标准形​

若 AA 不可对角化，将其化为 Jordan 标准形 J=P−1APJ = P^{-1}AP，则 eAt=PeJtP−1e^{At} = P e^{Jt} P^{-1}。

方法三：特征值-特征向量法​

最实用的方法：

  1. 求 AA 的特征值 λ1,…,λn\lambda_1, \ldots, \lambda_n
  2. 对每个 λi\lambda_i，求特征向量 vi\mathbf{v}_i（实特征值）或取实部/虚部（复特征值）
  3. 构造基解：eλitvie^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i（实根），eαt(cos⁡βt u−sin⁡βt w)e^{\alpha t}(\cos \beta t \, \mathbf{u} - \sin \beta t \, \mathbf{w}) 等（复根）
  4. 对重根，引入 teλt,t2eλt,…t e^{\lambda t}, t^2 e^{\lambda t}, \ldots 项（广义特征向量）

举例​

求解 X′=(1141)XX' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} X。

特征值：det⁡(A−λI)=λ2−2λ−3=0⇒λ1=3,λ2=−1\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 3, \lambda_2 = -1。

特征向量：

  • λ1=3\lambda_1 = 3：v1=(1,2)⊤\mathbf{v}_1 = (1, 2)^\top
  • λ2=−1\lambda_2 = -1：v2=(1,−2)⊤\mathbf{v}_2 = (1, -2)^\top

基解矩阵：

Φ(t)=(e3te−t2e3t−2e−t)\Phi(t) = \begin{pmatrix} e^{3t} & e^{-t} \\ 2e^{3t} & -2e^{-t} \end{pmatrix}

通解：X(t)=C1(12)e3t+C2(1−2)e−tX(t) = C_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} e^{3t} + C_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} e^{-t}。