不动点与线性化方法

不动点（平衡点）是动力系统最基本的特征——系统在不动点处永远保持不变。通过局部线性化，可以用线性系统的特征值来判断非线性系统不动点的稳定性。

不动点

定义

对于自治系统 $X' = F(X)$，若 $F(X^*) = 0$，则 $X^*$ 称为不动点（平衡点、奇点）。

零解的初值问题 $X(t_0) = X^*$ 有唯一的常数解 $X(t) \equiv X^*$。

平移变换（将不动点化为零解）

设 $X^*$ 是不动点。令 $Y = X - X^*$，则：

$Y' = F(Y + X^*) = F(X^*) + DF(X^*)Y + o(\|Y\|) = AY + G(Y)$

其中 $A = DF(X^*)$ 是 $F$ 在 $X^*$ 处的 Jacobi 矩阵，$G(Y)$ 是高阶项（$G(0) = 0, DG(0) = 0$）。

现在原系统的不动点 $X^*$ 化为零解 $Y = 0$。

线性化系统

与原非线性系统 $Y' = AY + G(Y)$ 对应的线性化系统为：

$Y' = AY$

其中 $A = DF(X^*) = \left.\dfrac{\partial F_i}{\partial X_j}\right|_{X^*}$。

基本思想：在不动点附近，非线性系统的行为"大致"由其线性部分决定。只要线性部分的特征值实部不为零（双曲不动点），线性化就是有效的。

双曲不动点

定义

若 Jacobi 矩阵 $A = DF(X^*)$ 的所有特征值的实部均不为零，则称 $X^*$ 为双曲不动点（Hyperbolic Fixed Point）。

双曲不动点是"稳健"的——它们在小扰动下保持其定性特征。

Hartman-Grobman 定理（线性化定理）

定理：设 $X^*$ 是 $X' = F(X)$ 的双曲不动点。则存在 $X^*$ 的某个邻域 $U$，使得在 $U$ 上非线性系统 $X' = F(X)$ 局部拓扑共轭于其线性化系统 $Y' = AY$。

这意味着：非线性流与其线性化流之间存在一个保向的同胚，它将轨道映为轨道且保持时间方向。

通俗理解

在双曲不动点附近，非线性系统的定性行为（特别是稳定性）完全由其线性部分决定。你可以放心地"用线性代替非线性"。

稳定性分类（由特征值判断）

对线性化系统 $Y' = AY$，$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$。设其特征值为 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$。

二维系统的分类（最实用）

特征值	类型	相图特征	稳定性
$\lambda_1, \lambda_2 < 0$（实）	稳定结点	轨线趋向原点	渐近稳定
$\lambda_1, \lambda_2 > 0$（实）	不稳定结点	轨线远离原点	不稳定
$\lambda_1 < 0 < \lambda_2$（实）	鞍点	一个方向趋近，一个远离	不稳定
$\lambda = \alpha \pm i\beta$，$\alpha < 0$	稳定焦点	螺旋趋近原点	渐近稳定
$\lambda = \alpha \pm i\beta$，$\alpha > 0$	不稳定焦点	螺旋远离原点	不稳定
$\lambda = \pm i\beta$（纯虚）	中心	闭轨线（周期轨道）	稳定（非渐近）

注意："中心"情形（纯虚特征值）是非双曲的——线性化不能决定非线性系统的稳定性。此时需要李雅普诺夫直接法或其他工具。

$n$ 维系统的判稳准则

条件	零解稳定性
$\operatorname{Re}(\lambda_i) < 0$ 对所有 $i$	渐近稳定
存在 $\operatorname{Re}(\lambda_i) > 0$	不稳定
所有 $\operatorname{Re}(\lambda_i) \leq 0$ 且存在 $\operatorname{Re}(\lambda_i) = 0$	线性化不足以判定（非双曲）

举例

分析系统不动点的稳定性：

$\begin{cases} x' = x - y - x(x^2 + y^2) \\ y' = x + y - y(x^2 + y^2) \end{cases}$

不动点：$(0, 0)$。

Jacobi 矩阵在原点处：

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

特征值：$\lambda = 1 \pm i$，实部 $= 1 > 0$。由线性化定理，$(0, 0)$ 是不稳定焦点。

注意：非线性项 $-xr^2, -yr^2$（其中 $r^2 = x^2 + y^2$）在高阶会影响大范围行为，但不影响局部稳定性。

局限性

线性化方法只适用于双曲不动点。对于非双曲情形（如中心、退化结点等），需要更精细的方法——李雅普诺夫直接法。