特征函数

特征函数是概率论中处理独立和的强大工具——它把卷积化为乘积，把求矩化为求导。它是证明大数定律和中心极限定理的核心技术。

定义

随机变量 $X$ 的特征函数（Characteristic Function）为：

$\varphi_X(t) = E(e^{itX}) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\,dF(x), \quad t \in \mathbb{R}$

其中 $i = \sqrt{-1}$ 是虚数单位。

• 离散型：$\varphi(t) = \sum_k e^{itx_k} p_k$
• 连续型：$\varphi(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f(x)\,dx$

特征函数本质上是密度函数（或分布列）的傅里叶变换。

基本性质

性质	公式
有界性	$
共轭对称	$\varphi(-t) = \overline{\varphi(t)}$
一致连续	$\varphi$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续
线性变换	$\varphi_{aX+b}(t) = e^{itb} \cdot \varphi_X(at)$
独立和	$\varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t) \cdot \varphi_Y(t)$（$X \perp\!\!\!\perp Y$）

独立和的特征函数 = 特征函数的乘积。这使卷积化为乘积，是特征函数最重要的性质。

特征函数与矩的关系

若 $E(|X|^k) < \infty$，则 $\varphi$ 是 $k$ 阶可导的，且：

$\varphi^{(k)}(0) = i^k \cdot E(X^k)$

由此可从特征函数反求各阶矩。特别地：

$E(X) = -i \cdot \varphi'(0), \quad E(X^2) = -\varphi''(0)$

反演公式（唯一性定理）

若 $\varphi_X(t) = \varphi_Y(t)$ 对所有 $t$ 成立，则 $X$ 与 $Y$ 有相同的分布函数。

特征函数唯一决定分布函数——这是它的根本重要性所在。

Lévy 连续性定理

$X_n \xrightarrow{d} X$ 当且仅当 $\varphi_{X_n}(t) \to \varphi_X(t)$ 对每个 $t$ 成立，且 $\varphi_X$ 在 $t = 0$ 处连续。

此定理将"按分布收敛"转化为"特征函数的逐点收敛"，是证明中心极限定理的核心桥梁。

常见分布的特征函数

分布	特征函数
0-1 分布 $B(1, p)$	$1 - p + p e^{it}$
二项分布 $B(n, p)$	$(1 - p + p e^{it})^n$
泊松分布 $P(\lambda)$	$\exp(\lambda(e^{it} - 1))$
均匀分布 $U(a, b)$	$\dfrac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}$
正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$	$\exp(i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2)$
指数分布 $\operatorname{Exp}(\lambda)$	$\dfrac{\lambda}{\lambda - it}$
伽马分布 $\Gamma(\alpha, \lambda)$	$\left(\dfrac{\lambda}{\lambda - it}\right)^{\alpha}$

特征函数在极限定理中的角色

在证明中心极限定理时：

1. 将 $X_i$ 标准化：$Y_i = \dfrac{X_i - \mu}{\sigma}$
2. 求部分和 $S_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum Y_i$ 的特征函数
3. 利用独立和的性质：$\varphi_{S_n}(t) = [\varphi_{Y_1}(t/\sqrt{n})]^n$
4. 泰勒展开：$\varphi_{Y_1}(t) = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$
5. 取极限：$\varphi_{S_n}(t) \to e^{-t^2/2}$，即标准正态的特征函数
6. 由 Lévy 连续性定理得 $\xrightarrow{d} N(0, 1)$