常用连续分布

正态分布

正态分布是概率论和统计学中最重要的分布——中心极限定理保证了大量独立随机变量之和近似服从正态分布。

定义

密度函数：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x \in \mathbb{R}$

期望： $E(X) = \mu$
方差： $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$
记作： $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

标准正态分布

$\mu = 0, \sigma = 1$ ，密度为 $\varphi(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ 。分布函数记为 $\Phi(x)$ 。

标准化

若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ，则 $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$ 。

$P(a < X \leq b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$

$3\sigma$ 原则

$P(|X - \mu| < \sigma) \approx 68.3\%, \quad P(|X - \mu| < 2\sigma) \approx 95.4\%, \quad P(|X - \mu| < 3\sigma) \approx 99.7\%$

正态分布的性质

密度关于 $x = \mu$ 对称
可加性： $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ ， $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 独立 $\Rightarrow$ $X+Y \sim N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$
正态随机变量的线性组合仍为正态

均匀分布

$f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a < x < b$

期望： $E(X) = \dfrac{a+b}{2}$
方差： $\operatorname{Var}(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$
记作： $X \sim U(a, b)$

指数分布

描述等待时间（无记忆性）：

$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x > 0$

分布函数： $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$
期望： $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$
方差： $\operatorname{Var}(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$
记作： $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$
无记忆性： $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$

指数分布是唯一的具有无记忆性的连续分布。

伽马分布

多个独立同分布指数变量的和：

$f(x) = \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}, \quad x > 0$

期望： $E(X) = \dfrac{\alpha}{\lambda}$
方差： $\operatorname{Var}(X) = \dfrac{\alpha}{\lambda^2}$
记作： $X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$
$\alpha = 1$ 时退化为指数分布
$\alpha = n/2, \lambda = 1/2$ 时退化为卡方分布 $\chi^2(n)$

贝塔分布

在 $[0, 1]$ 上的灵活分布，常用于建模比例：

$f(x) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}, \quad 0 < x < 1$

期望： $E(X) = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$
$B(\alpha, \beta) = \dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$