常用离散分布

0-1 分布（伯努利分布）

单次试验，成功概率 $p$ ：

$P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p$

期望： $E(X) = p$
方差： $\operatorname{Var}(X) = p(1-p)$
记作： $X \sim B(1, p)$

二项分布

$n$ 重独立伯努利试验中成功的总次数：

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$

期望： $E(X) = np$
方差： $\operatorname{Var}(X) = np(1-p)$
记作： $X \sim B(n, p)$
可加性： $X \sim B(n_1, p)$ ， $Y \sim B(n_2, p)$ 独立 $\Rightarrow$ $X + Y \sim B(n_1 + n_2, p)$

二项分布的最可能值

$k_0 = \lfloor (n+1)p \rfloor$ （当 $(n+1)p$ 为整数时， $k_0$ 和 $k_0 - 1$ 均为最可能值）。

泊松分布

描述稀有事件在固定时间/空间内发生的次数：

$P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$

期望： $E(X) = \lambda$
方差： $\operatorname{Var}(X) = \lambda$
记作： $X \sim P(\lambda)$
可加性： $X \sim P(\lambda_1)$ ， $Y \sim P(\lambda_2)$ 独立 $\Rightarrow$ $X + Y \sim P(\lambda_1 + \lambda_2)$

泊松定理（二项分布的泊松近似）

当 $n$ 很大、 $p$ 很小时， $B(n, p) \approx P(np)$ ：

$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \approx \frac{(np)^k}{k!} e^{-np}$

一般 $n \geq 20$ ， $p \leq 0.05$ （或 $n \geq 100$ ， $np \leq 10$ ）时近似效果较好。

几何分布

独立伯努利试验中首次成功所需的试验次数：

$P(X = k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, \ldots$

期望： $E(X) = \dfrac{1}{p}$
方差： $\operatorname{Var}(X) = \dfrac{1-p}{p^2}$
无记忆性： $P(X > m+n \mid X > m) = P(X > n)$

超几何分布

$N$ 件产品中有 $M$ 件次品，不放回抽取 $n$ 件，次品数 $X$ ：

$P(X = k) = \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad \max(0, n-(N-M)) \leq k \leq \min(n, M)$

期望： $E(X) = n \cdot \dfrac{M}{N}$
方差： $\operatorname{Var}(X) = n \cdot \dfrac{M}{N} \cdot \dfrac{N-M}{N} \cdot \dfrac{N-n}{N-1}$
当 $n \ll N$ 时，可用二项分布近似

负二项分布（帕斯卡分布）

第 $r$ 次成功所需的试验次数：

$P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, \quad k = r, r+1, \ldots$

$r = 1$ 时退化为几何分布