随机变量函数的分布

给定 $X$ 的分布，求 $Y = g(X)$ 的分布，是概率论中的基本技能。核心方法：分布函数法和公式法。

分布函数法（通用方法）

步骤

1. 写出 $Y$ 的分布函数：$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y)$
2. 将 $g(X) \leq y$ 转化为 $X$ 的等价条件，用 $X$ 的分布函数/密度表达
3. 若 $Y$ 为连续型，求导得密度：$f_Y(y) = F_Y'(y)$

举例

设 $X \sim U(0, 1)$，求 $Y = X^2$ 的密度。

$F_Y(y) = P(X^2 \leq y) = P(X \leq \sqrt{y}) = \sqrt{y}, \quad 0 < y < 1$

$f_Y(y) = F_Y'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}, \quad 0 < y < 1$

公式法（单调变换）

若 $g(x)$ 在 $X$ 的取值区间上严格单调且可导，设其反函数为 $x = h(y)$，则：

$f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$

对非单调函数

将取值区间按单调性分段，对每段分别使用公式法，然后求和。

举例

设 $X \sim N(0, 1)$，$Y = X^2$。$g(x) = x^2$ 非单调，分段：

• $x < 0$ 段：$h_1(y) = -\sqrt{y}$，$|h_1'(y)| = 1/(2\sqrt{y})$
• $x > 0$ 段：$h_2(y) = \sqrt{y}$，$|h_2'(y)| = 1/(2\sqrt{y})$

$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}, \quad y > 0$

这是卡方分布 $\chi^2(1)$ 的密度（$\Gamma(1/2, 1/2)$）。

离散型随机变量的函数分布

离散情况非常简单：$Y = g(X)$ 仍是离散型，分布列为：

$P(Y = y) = \sum_{x: g(x) = y} P(X = x)$

直接合并相同函数值即可。

三种方法的对比

方法	适用场景	要点
分布函数法	任意 $g(x)$	无需求反函数，最通用
公式法	$g(x)$ 单调可导	直接套公式，最快捷
合并法	离散型	合并相同 $g(x)$ 的概率