条件概率与三大公式

条件概率是概率论的核心概念——它描述了"在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率"。全概率公式和贝叶斯公式是条件概率最重要的两个应用。

条件概率

定义

设 $A, B$ 为事件，$P(B) > 0$。已知 $B$ 发生的条件下 $A$ 发生的条件概率为：

$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

条件概率是概率

固定 $B$（$P(B) > 0$），$P(\cdot \mid B)$ 满足概率的三条公理（非负性、规范性、可列可加性），因此它确实是一种概率。

乘法公式

由条件概率定义立得：

$P(AB) = P(A \mid B) \cdot P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A)$

推广（链式法则）

$P(A_1 A_2 \cdots A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 \mid A_1) \cdot P(A_3 \mid A_1 A_2) \cdots P(A_n \mid A_1 \cdots A_{n-1})$

应用举例：无放回抽样

袋中有 $a$ 只白球，$b$ 只黑球，无放回抽取 $k$ 次，求第 $i$ 次抽到白球的概率。

用对称性可证，第 $i$ 次抽到白球的概率与第 1 次相同：$\dfrac{a}{a+b}$。

全概率公式

核心思想：由因求果

将复杂事件按"互斥且穷尽"的原因拆解，分块加权求和。

公式

设 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ 是 $\Omega$ 的一个完备事件组（互不相交且并集为 $\Omega$），且 $P(B_i) > 0$。则对任意事件 $A$：

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)$

应用举例：敏感性问题调查

在调查吸毒等敏感问题时，受试者随机抽取问题（无关问题/敏感问题），只需回答"是"或"否"。利用全概率公式，可从总体"是"的比例反推敏感问题的真实比例。

贝叶斯公式

核心思想：执果索因

已知结果 $A$ 已发生，反推是哪个"原因" $B_i$ 导致的。

公式

$P(B_k \mid A) = \frac{P(A \mid B_k) \cdot P(B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)}$

分子 = $A$ 与 $B_k$ 同时发生的概率（由乘法公式）。分母 = $P(A)$（由全概率公式）。

贝叶斯术语

• $P(B_k)$：先验概率（试验前对各原因的相信程度）
• $P(A \mid B_k)$：似然（在原因 $B_k$ 下观察到结果 $A$ 的可能性）
• $P(B_k \mid A)$：后验概率（观察到结果 $A$ 后，修正的对各原因的相信程度）

应用举例：疾病检测

疾病患病率 $1\%$，检测灵敏度 $99\%$，特异度 $95\%$。若某人检测呈阳性，他确实患病的概率是多少？

$P(\text{患病} \mid \text{阳性}) = \frac{0.99 \times 0.01}{0.99 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99} \approx 16.7\%$

直觉反差：阳性检测结果的患病概率只有约 $17\%$，远低于人们直觉中的"$99\%$ 准确"。这是因为患病率极低（万中有一），导致假阳性在阳性结果中占了绝大多数。

三大公式总结

公式	方向	用途
乘法公式	从条件到联合	将复杂概率拆解为条件概率的乘积
全概率公式	由因求果	通过各原因的概率加权求和求结果概率
贝叶斯公式	执果索因	观察到结果后，反推各原因的概率（更新信念）