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事件运算与概率定义

样本空间与事件​

基本概念​

  • 样本空间 Ω\Omega：随机试验所有可能结果的集合
  • 样本点 ω\omega：样本空间中的每个元素
  • 随机事件 AA：Ω\Omega 的子集，即某些样本点组成的集合
  • 必然事件：Ω\Omega 自身
  • 不可能事件：∅\varnothing

事件的关系与运算​

运算记号含义
包含A⊂BA \subset BAA 发生则 BB 必发生
相等A=BA = BA⊂BA \subset B 且 B⊂AB \subset A
和事件A∪BA \cup BAA 与 BB 至少一个发生
积事件A∩BA \cap B（或 ABAB）AA 与 BB 同时发生
差事件A−BA - BAA 发生而 BB 不发生
互斥AB=∅AB = \varnothingAA 与 BB 不能同时发生
对立事件Aˉ\bar{A}AA 不发生

德摩根律（对偶律）​

A∪B‾=Aˉ∩Bˉ,A∩B‾=Aˉ∪Bˉ\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}, \qquad \overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}

推广形式：

⋃iAi‾=⋂iAiˉ,⋂iAi‾=⋃iAiˉ\overline{\bigcup_{i} A_i} = \bigcap_{i} \bar{A_i}, \qquad \overline{\bigcap_{i} A_i} = \bigcup_{i} \bar{A_i}

通俗理解："和的非 = 非的积"、"积的非 = 非的和"。

概率的公理化定义​

柯尔莫哥洛夫公理​

设 Ω\Omega 为样本空间，F\mathcal{F} 为事件域（σ\sigma-代数）。概率 PP 是 F\mathcal{F} 到 [0,1][0, 1] 的映射，满足：

  1. 非负性：P(A)≥0P(A) \geq 0，∀A∈F\forall A \in \mathcal{F}
  2. 规范性：P(Ω)=1P(\Omega) = 1
  3. 可列可加性：若 A1,A2,…A_1, A_2, \ldots 两两互斥，则 P ⁣(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P\!\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)

概率的基本性质​

性质公式
不可能事件P(∅)=0P(\varnothing) = 0
有限可加性AiA_i 两两互斥 ⇒\Rightarrow P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)
对立事件P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)
减法公式若 A⊂BA \subset B，则 P(B−A)=P(B)−P(A)P(B - A) = P(B) - P(A)
单调性A⊂B⇒P(A)≤P(B)A \subset B \Rightarrow P(A) \leq P(B)
加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)
一般加法公式P(⋃i=1nAi)=∑iP(Ai)−∑i<jP(AiAj)+⋯+(−1)n−1P(A1⋯An)P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i) = \sum_i P(A_i) - \sum_{i<j} P(A_i A_j) + \cdots + (-1)^{n-1}P(A_1 \cdots A_n)

古典概型​

样本空间有限且每个样本点等可能：

P(A)=∣A∣∣Ω∣=有利场合数总场合数P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{有利场合数}}{\text{总场合数}}

核心工具：排列组合。

常用计数公式​

场景公式
排列（有序不放回）Pnk=n!(n−k)!P_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}
组合（无序不放回）(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}
可重复排列nkn^k
可重复组合(n+k−1k)\binom{n+k-1}{k}

抽样方式的影响​

方式每次抽取是否独立
放回抽样概率不变各次试验独立
不放回抽样概率改变各次试验不独立

几何概型​

样本空间为某个可测区域，样本点等可能落在其中。设 Ω⊂Rd\Omega \subset \mathbb{R}^d 有有限正测度（长度/面积/体积），则：

P(A)=m(A)m(Ω)P(A) = \frac{m(A)}{m(\Omega)}

经典问题：碰面问题​

两人约定在 [0,T][0, T] 内到达，先到者等 tt 分钟后离开。求两人相遇的概率。

样本空间 Ω=[0,T]2\Omega = [0, T]^2（单位正方形）。事件 A={(x,y)∣∣x−y∣≤t}A = \{(x, y) \mid |x - y| \leq t\}（带状区域）。概率为面积比。

频率与统计定义​

在 nn 次重复试验中，事件 AA 发生的次数 nAn_A 称为频数，比值 nAn\dfrac{n_A}{n} 称为频率。

频率的稳定性（大数定律的直观基础）：当 n→∞n \to \infty 时，频率稳定于某个常数——这个常数就是概率。

概率空间​

三元组 (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal{F}, P)：

  • Ω\Omega：样本空间
  • F\mathcal{F}：事件域（σ\sigma-代数），满足对可列交、可列并、取补封闭
  • PP：F\mathcal{F} 上的概率测度