域

域（Field）是环论中最"完美"的结构——每个非零元都有乘法逆元。在域上，加、减、乘、除（除零外）全部封闭，这使得域成为线性代数、Galois 理论等的基础。

定义

设 $F$ 为交换含幺环，$F \neq \{0\}$。若 $F$ 中每个非零元均有乘法逆元，即

$\forall a \in F, a \neq 0, \exists a^{-1} \in F, \text{ 使 } aa^{-1} = a^{-1}a = 1$

则称 $F$ 为一个域。

等价定义：域 = 交换的除环 = 整环 + 非零元可逆

域的基本性质

1. 域是无零因子的：$ab = 0 \Rightarrow a = 0$ 或 $b = 0$（因为若 $a \neq 0$，乘 $a^{-1}$ 得 $b = 0$）
2. 域的非零元构成乘法群：$F^{\times} = F \setminus \{0\}$ 在乘法下成群
3. 域的乘法群是唯一的非平凡理想：域只有平凡理想 $\{0\}$ 和 $F$
4. 有限整环必为域（Wedderburn 小定理：有限除环必为域）

域的特征

域 $F$ 的特征 $\operatorname{char}(F)$ 定义为最小的正整数 $n$ 使 $n \cdot 1 = 0$；若不存在，则 $\operatorname{char}(F) = 0$。

• 特征必为 $0$ 或素数
• $\operatorname{char}(F) = 0 \Rightarrow F \supseteq \mathbb{Q}$（包含有理数域）
• $\operatorname{char}(F) = p \Rightarrow F \supseteq \mathbb{F}_p$（包含 $p$ 元有限域）

详见特征与素域章节。

域的扩张

设 $E \supseteq F$ 是两个域，称 $E$ 为 $F$ 的扩域（Extension Field）。

• $E$ 可视为 $F$ 上的向量空间，其维数 $[E : F]$ 称为扩张次数
• $[E : F] = 1 \iff E = F$（平凡扩张）
• $[E : F] < \infty$ 称为有限扩张

代数元与超越元

• $E/F$ 的扩张中，$F$ 上代数元是满足某个 $F$-系数多项式的元素
• 不是代数元的元素称为超越元

常见域的例子

域	特征	说明
$\mathbb{Q}$	$0$	有理数域，最小的特征 $0$ 域
$\mathbb{R}$	$0$	实数域
$\mathbb{C}$	$0$	复数域，代数闭域
$\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}_p$	$p$	$p$ 元有限域（Galois 域）
$\mathbb{F}_{p^n}$	$p$	$p^n$ 元有限域
$F(x)$	同 $F$	$F$ 上有理函数域
$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$	$0$	$\mathbb{Q}$ 的二次扩域