整环

整环（Integral Domain）是整数环 $\mathbb{Z}$ 的最直接推广——交换、含幺、无零因子。在整环中，我们熟悉的"消去律"和"因式分解"等初等算术性质得以成立。

定义

设 $R$ 为交换含幺环，$R \neq \{0\}$。若 $R$ 满足：

$ab = 0 \Longrightarrow a = 0 \ \text{或}\ b = 0$

则称 $R$ 为整环。

等价刻画：整环 = 交换含幺环 + 消去律成立（$ab = ac, a \neq 0 \Rightarrow b = c$）

整环的基本性质

1. 消去律

在整环中，若 $a \neq 0$ 且 $ab = ac$，则 $b = c$。

证明：$ab = ac \Rightarrow a(b - c) = 0$。因 $a \neq 0$ 且无零因子，故 $b - c = 0$，即 $b = c$。

2. 有限整环必为域

定理：有限整环必为域。

证明：设 $R$ 为有限整环，$a \in R$，$a \neq 0$。考虑映射 $L_a: R \to R$，$L_a(x) = ax$。由消去律，$L_a$ 是单射。因 $R$ 有限，$L_a$ 也是满射，故 $\exists x \in R$ 使 $ax = 1$，$a$ 可逆。因此 $R$ 是域。

3. 子环与扩环

• 整环的子环仍是整环（若保持含幺性）
• $\mathbb{Z}$ 是"最小"的整环：任意整环都包含一个同构于 $\mathbb{Z}$ 或 $\mathbb{Z}_p$ 的子环（其特征子环）

不可约元与素元

在整环中可讨论因式分解：

概念	定义
整除	$a \mid b \iff \exists c \in R, b = ac$
相伴	$a \sim b \iff a \mid b$ 且 $b \mid a$，即 $b = ua$（$u$ 可逆）
不可约元	$p \neq 0$ 不可逆，且 $p = ab \Rightarrow a$ 可逆或 $b$ 可逆
素元	$p \neq 0$ 不可逆，且 $p \mid ab \Rightarrow p \mid a$ 或 $p \mid b$

素元 vs 不可约元：素元必为不可约元，但反之不一定成立。在唯一分解整环（UFD）中，两者等价。

常见整环例子

整环	说明
$\mathbb{Z}$	整数环，所有整环的"原型"
$\mathbb{Z}[i]$	高斯整数环（Gauss 整数）
$F[x]$（$F$ 为域）	域上的一元多项式环
$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$	非 UFD 的经典例子
$\mathbb{Z}_p$（$p$ 素数）	有限整环，从而为域

整环的分式域

任意整环可嵌入一个域——其分式域（Field of Fractions）。分式域是"最经济的域化"构造，详见分式域章节。

例如：

• $\mathbb{Q} = \operatorname{Frac}(\mathbb{Z})$
• $F(x) = \operatorname{Frac}(F[x])$