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环的定义与基本性质

环是具有两种二元运算（加法和乘法）的代数结构。整数的加法和乘法是环的"原型"。

环的定义​

一个环 (R,+,⋅)(R, +, \cdot) 是一个非空集合 RR，其上定义了两种二元运算 ++ 和 ⋅\cdot（分别称为加法和乘法），满足以下公理：

加法公理​

  1. 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)，∀a,b,c∈R\forall a, b, c \in R
  2. 交换律：a+b=b+aa + b = b + a，∀a,b∈R\forall a, b \in R
  3. 零元存在：∃0∈R\exists 0 \in R，使 a+0=aa + 0 = a，∀a∈R\forall a \in R
  4. 负元存在：∀a∈R\forall a \in R，∃−a∈R\exists -a \in R，使 a+(−a)=0a + (-a) = 0

即 (R,+)(R, +) 是一个交换群（Abel 群）。

乘法公理​

  1. 结合律：(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)，∀a,b,c∈R\forall a, b, c \in R

分配律​

  1. 左分配律：a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c，∀a,b,c∈R\forall a, b, c \in R
  2. 右分配律：(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c，∀a,b,c∈R\forall a, b, c \in R

通常省略乘号，将 a⋅ba \cdot b 简写为 abab。

环的分类​

环的类型额外条件
含幺环∃1∈R,1≠0\exists 1 \in R, 1 \neq 0，使 1⋅a=a⋅1=a1 \cdot a = a \cdot 1 = a，∀a∈R\forall a \in R
交换环ab=baab = ba，∀a,b∈R\forall a, b \in R
整环交换、含幺、且无零因子（ab=0⇒a=0ab = 0 \Rightarrow a = 0 或 b=0b = 0）
除环含幺、且 ∀a≠0\forall a \neq 0，∃a−1∈R\exists a^{-1} \in R 使 aa−1=a−1a=1aa^{-1} = a^{-1}a = 1
域交换的除环（等价于：交换、含幺、且非零元均可逆）

零因子与可逆元​

零因子​

设 a∈Ra \in R，a≠0a \neq 0。若 ∃b∈R,b≠0\exists b \in R, b \neq 0，使 ab=0ab = 0（或 ba=0ba = 0），则称 aa 为 RR 的左零因子（或右零因子）。

  • 整环的等价定义：交换环 R≠{0}R \neq \{0\} 且 RR 无零因子
  • 零因子不可逆

可逆元（单位）​

若 ∃b∈R\exists b \in R 使 ab=ba=1ab = ba = 1，则称 aa 为 RR 的可逆元（或单位），记 b=a−1b = a^{-1}。

RR 中全体可逆元构成乘法群，记作 R×R^{\times} 或 U(R)U(R)。

环的基本性质​

  1. 0⋅a=a⋅0=00 \cdot a = a \cdot 0 = 0：零元乘以任何元均为零
  2. (−a)b=a(−b)=−(ab)(-a)b = a(-b) = -(ab)
  3. (−a)(−b)=ab(-a)(-b) = ab
  4. 消去律不一定成立：ab=acab = ac 且 a≠0a \neq 0 不能推出 b=cb = c，除非 RR 是整环且 a≠0a \neq 0
  5. 二项式定理在交换环中成立

环的同态与同构​

环同态是保持两种运算的映射：

φ(a+b)=φ(a)+φ(b),φ(ab)=φ(a)φ(b)\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b), \quad \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)

详见环同态章节。

常见例子​

环类型说明
Z\mathbb{Z}整环整数环，不是域
Q,R,C\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}域全体非零元可逆
Zn\mathbb{Z}_n（nn 合数）含幺交换环有零因子，如 2ˉ⋅3ˉ=0ˉ\bar{2} \cdot \bar{3} = \bar{0} 在 Z6\mathbb{Z}_6 中
Zp\mathbb{Z}_p（pp 素数）域模 pp 剩余类域
H\mathbb{H}（四元数）除环（非交换）非交换除环的经典例子
Mn(R)M_n(R)非交换环nn 阶矩阵环（n≥2n \geq 2）
R[x]R[x]取决于 RR多项式环