商环

商环（Quotient Ring / Factor Ring）是模掉一个理想后得到的环。它是群商群在环论中的对应物——但以理想代替正规子群。

来源

从 Mermaid 图中可以看到，理想是构造商环的基础：

定义

设 $I \trianglelefteq R$ 为 $R$ 的理想。在加法商群 $R/I = \{r + I \mid r \in R\}$ 上定义乘法：

$(a + I)(b + I) = ab + I$

则 $(R/I, +, \cdot)$ 构成环，称为 $R$ 对 $I$ 的商环（Quotient Ring）。

商环的良定义性

商环乘法的良定义依赖于 $I$ 是双边理想：若 $I$ 仅仅是子环（而非理想），乘法不一定良定义。

验证：设 $a + I = a' + I$ 且 $b + I = b' + I$，即 $a' = a + i_1$，$b' = b + i_2$（$i_1, i_2 \in I$）。则 $a'b' = (a + i_1)(b + i_2) = ab + i_1b + ai_2 + i_1i_2$ 由 $I$ 的吸收性，$i_1b, ai_2 \in I$，故 $a'b' + I = ab + I$。

商环的基本性质

1. 零元：$0_{R/I} = 0_R + I = I$
2. 幺元（若 $R$ 含幺）：$1_{R/I} = 1_R + I$
3. 自然投影 $\pi: R \to R/I$，$r \mapsto r + I$ 是满环同态，核为 $I$
4. $R/I$ 是整环 $\iff$ $I$ 是素理想
5. $R/I$ 是域 $\iff$ $I$ 是极大理想（$R$ 交换含幺）

商环的例子

商环	原环	理想	说明
$\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}$	$n\mathbb{Z}$	模 $n$ 剩余类环
$\mathbb{Z}_p$（$p$ 素数）	$\mathbb{Z}$	$p\mathbb{Z}$	有限域
$\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)$	$\mathbb{R}[x]$	$(x^2 + 1)$	$\cong \mathbb{C}$
$\mathbb{Q}[x]/(x^2 - 2)$	$\mathbb{Q}[x]$	$(x^2 - 2)$	$\cong \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
$F[x]/(f(x))$	$F[x]$	$(f(x))$	$f$ 的割裂域（当 $f$ 不可约时是域）

商环与扩张

商环是构造域的扩张的重要方法。例如：

• $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^2 - 2)$
• $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)$
• 任意有限域 $\mathbb{F}_{p^n}$ 可表示为 $\mathbb{F}_p[x]/(f(x))$，其中 $f$ 是 $\mathbb{F}_p$ 上的 $n$ 次不可约多项式

这种构造是 Galois 理论、代数数论、代数几何的基础。