子环

定义

设 $(R, +, \cdot)$ 为环，$S \subseteq R$ 为非空子集。若 $S$ 在 $R$ 的加法和乘法下也构成环，则称 $S$ 为 $R$ 的子环，记作 $S \leqslant R$。

与子群类比：子环需对两种运算都封闭，而子群只需对一种运算封闭。子环首先必须是加法子群。

子环判定定理

判定定理

$S \subseteq R$ 是 $R$ 的子环当且仅当：

1. $S \neq \varnothing$
2. $\forall a, b \in S$，有 $a - b \in S$（即 $(S, +) \leqslant (R, +)$）
3. $\forall a, b \in S$，有 $ab \in S$（乘法封闭）

注意：含幺性不要求传递——子环的幺元（若有）不一定等于原环的幺元。例如 $2\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}$ 是子环但无幺元。

常见例子

子环	原环	说明
$n\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}$	$n$ 的倍数
$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Q}$	整数是有理数的子环
$\mathbb{R}$	$\mathbb{C}$	实数是复数的子环
对角矩阵全体	$M_n(F)$	$n$ 阶对角矩阵构成子环

子环的性质

1. 传递性：若 $T \leqslant S$ 且 $S \leqslant R$，则 $T \leqslant R$
2. 交仍为子环：子环的交集仍是子环
3. 并不一定：子环的并集一般不构成子环

中心

环 $R$ 的中心 $Z(R) = \{a \in R \mid \forall r \in R, ar = ra\}$ 是 $R$ 的交换子环。